已知函数f（x）=loga[（1a-2）x+1]在区间[1，3]上的函数值大于0恒成立，则实数a的取值范围是（ ）A. （1，+∞）B. （0，35）C. （12，1）D. （12，35）
问题描述：
已知函数f（x）=loga[（
-2）x+1]在区间[1，3]上的函数值大于0恒成立，则实数a的取值范围是（ ）1 a
A. （1，+∞）
B. （0，
）3 5
C. （
，1）1 2
D. （
，1 2
） 3 5
答
知识点：本题主要考查不等式的恒成立问题，解决此题的关键是准确的利用不等式的性质转化不等式，利用充分条件得出最后的结果．
设g（x）=（
−2）x+1，x∈[1，3]1 a
所以g（x）=（
−2）x+1是定义域上的单调函数，1 a
根据题意得
解得：0＜a＜
g(1)＞0 g(3)＞0
3 5
因为函数 f(x)＝loga[(
−2)x+1]在区间上[1，3]的函数值大于0恒成立1 a
所以 loga[(
−2)x+1]＞0在区间上[1，3]恒成立1 a
所以 loga[(
−2)x+1]＞loga1在区间上[1，3]恒成立1 a
因为0＜a＜
3 5
所以 (
−2)x+1＜ 1在区间上[1，3]恒成立1 a
即 (
−2)x＜0在区间上[1，3]恒成立1 a
所以
−2＜01 a
解得a＞
1 2
所以
＜a＜1 2
3 5
所以实数a的取值范围是
＜a＜1 2
．3 5
故选D．
答案解析：设g（x）=（
−2）x+1，x∈[1，3]可得g（x）=（ 1 a
−2）x+1是定义域上的单调函数，即 1 a
解得：0＜a＜
g(1)＞0 g(3)＞0
．所以 (3 5
−2)x+1＜ 1在区间上[1，3]恒成立，1 a
所以
＜a＜1 2
．3 5
考试点：函数恒成立问题；对数函数的值域与最值．
知识点：本题主要考查不等式的恒成立问题，解决此题的关键是准确的利用不等式的性质转化不等式，利用充分条件得出最后的结果．