已知函数f（x）=lnx，g（x）=x．（1）若x＞1，求证：f（x）＞2g（x−1x+1）；（2）是否存在实数k，使方程12g(x2)−f(1+x2)＝k有四个不同的实根？若存在，求出k的取值范围；若不存在，说明理由．
问题描述：
已知函数f（x）=lnx，g（x）=x．
（1）若x＞1，求证：f（x）＞2g（
）；x−1 x+1
（2）是否存在实数k，使方程
g(x2)−f(1+x2)＝k有四个不同的实根？若存在，求出k的取值范围；若不存在，说明理由． 1 2
答
（1）证明：令h(x)＝f(x)−2g(x−1x+1)＝lnx−2x−2x+1，x＞1h′(x)＝1x−4(x+1)2＝(x−1)2x(x+1)2＞0在（1，+∞）上恒成立，∴h（x）在（1，+∞）上是增函数，∴h（x）＞h（1）=0，∴f（x）＞2g（x−1x+1）．（2）...
答案解析：（1）构造函数，将不等式的证明化为函数单调性与最值的证明；（2）构造函数并求导，由数形结合求k的取值范围．
考试点：根的存在性及根的个数判断；利用导数求闭区间上函数的最值．
知识点：本题考查了导数的综合应用，同时考查了不等式的证明方法，属于中档题．