已知幂函数f（x）=x（2-k）（1+k），k∈Z，且f（x）在（0，+∞）上单调递增．（1）求实数k的值，并写出相应的函数f（x）的解析式；（2）若F（x）=2f（x）-4x+3在区间[2a，a+1]上不单调，求实数a的取值范围；（3）试判断是否存在正数q，使函数g（x）=1-qf（x）+（2q-1）x在区间[-1，2]上的值域为[−4，178]．若存在，求出q的值；若不存在，请说明理由．
问题描述：
已知幂函数f（x）=x（2-k）（1+k），k∈Z，且f（x）在（0，+∞）上单调递增．
（1）求实数k的值，并写出相应的函数f（x）的解析式；
（2）若F（x）=2f（x）-4x+3在区间[2a，a+1]上不单调，求实数a的取值范围；
（3）试判断是否存在正数q，使函数g（x）=1-qf（x）+（2q-1）x在区间[-1，2]上的值域为[−4，
]．若存在，求出q的值；若不存在，请说明理由． 17 8
答
知识点：本题考查的知识点是二次函数的图象和性质，幂函数的性质，熟练掌握基本初等函数的图象和性质是解答本题的关键．
（1）由题意知（2-k）（1+k）＞0，解得：-1＜k＜2．…（2分）又k∈Z∴k=0或k=1，…（3分）分别代入原函数，得f（x）=x2．…（4分）（2）由已知得F（x）=2x2-4x+3．…（5分）要使函数不单调，则2a＜1＜a+1，则0＜a＜1...
答案解析：（1）由已知f（x）在（0，+∞）上单调递增，结合幂函数的单调性与指数的关系可构造关于k的不等式，解不等式求出实数k的值，并得到函数f（x）的解析式；
（2）由（1）中结果，可得函数F（x）的解析式，结合二次函数的图象和性质，可构造关于a的不等式，解不等式求出实数a的取值范围；
（3）由（1）中结果，可得函数g（x）的解析式，结合二次函数的图象和性质，可求出q的值．
考试点：二次函数的性质；幂函数的性质．
知识点：本题考查的知识点是二次函数的图象和性质，幂函数的性质，熟练掌握基本初等函数的图象和性质是解答本题的关键．