已知函数f(x)=1/2ax^2+2x,g(x)=lnx(1)求函数y=xg(x)-2x的单调增区间(2)若y=f(x)在[1,+无穷]上是单调增区间 求a的取值范围.(3)是否存在实数a＞0使得方程g(x)/x=f(x)'-(2a+1)在区间(1/e,e)内有且只有2个不相等的实数根?若存在,请求出a的取值范围.若不存在,请说明理由

解 （I） ，则
因为函数h(x)存在单调递减区间，所以 又因为x>0时，则ax2+2x－1>0有x>0的解.
①当a>0时，y=ax2+2x－1为开口向上的抛物线，ax2+2x－1>0总有x>0的解；
②当a0总有x>0的解；
则△=4+4a>0,且方程ax2+2x－1=0至少有一正根.此时，－13）当a=0时，y=2x－1，显然有正解
综上所述，a的取值范围为（－1， +∞）.
2)根据题意，当1≤x≤4时， ≤0
即当1≤x≤4时，ax2+2x－1≥0
①当a>0时，y=ax2+2x－1为开口向上的抛物线，ax2+2x－1>0总有x>0的解；
②当aa+2－1≥0且16a+8－1≥0，解得a≥-7/16
3）当a=0时，y=2x－1，显然满足
综上所述，a的取值范围为（－7/16， +∞）.

h(x)=xg(x)-2x=xln(x)-2x,x>0.
h'(x)=ln(x)+1-2=ln(x)-1,
00,h(x)单调递增.
f(x)=ax^2/2 + 2x,
x>=1时,f'(x)=ax+2>=0.
x>=1,a>=0时显然满足要求.
x>=1,a0.
ln(x)=ax^2 +(1-2a)x,
s(x)=ln(x) - ax^2 + (2a - 1)x,
1/e0,s(x)单调递增.s(1/e)