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已知关于x，y的二元二次方程x2+y2+2x-4y+k=0（k∈R）表示圆C．（1）求圆心C的坐标；（2）求实数k的取值范围；（3）是否存在实数k，使直线l：x-2y+4=0与圆C相交于M、N两点，且OM⊥ON（O为坐标原点）？若存在，请求出k的值，若不存在，说明理由．

分类: 作业答案 • 2022-08-01 22:05:44
问题描述：

已知关于x，y的二元二次方程x2+y2+2x-4y+k=0（k∈R）表示圆C．
（1）求圆心C的坐标；
（2）求实数k的取值范围；
（3）是否存在实数k，使直线l：x-2y+4=0与圆C相交于M、N两点，且OM⊥ON（O为坐标原点）？若存在，请求出k的值，若不存在，说明理由．

答

（1）由方程x2+y2+2x-4y+k=变形为（x+1）2+（y-2）2=5-k．
∴圆心C的坐标为（-1，2）；
（2）∵此方程表示圆，∴5-k＞0，解得k＜5，故k的取值范围是（-∞，5）；
（3）设M（x1，y1），N（x2，y2）．
联立直线与圆可得5y2-16y+8+k=0，
∵直线与圆相交，∴△=162-20（8+k）＞0，化为k＜

24
5
．
∴y1+y2=
16
5
，y1y2=
8+m
5
．
∴x1x2=（4-2y1）（4-2y2）=16-8（y1+y2）+4y1y2，
∵OM⊥ON，
∴x1x2+y1y2=5y1y2-8（y1+y2）+16=0，
∴8+k-
8×16
5
+16=0，
解得k=
8
5
，满足k＜
24
5
，
故k=
8
5
．
答案解析：（1）由方程x2+y2+2x-4y+k=变形为（x+1）2+（y-2）2=5-k，可得圆心C的坐标；
（2）由于此方程表示圆，可得5-k＞0，解出即可；
（3）设M（x1，y1），N（x2，y2）．与圆的方程联立可得△＞0及根与系数关系，再利用OM⊥ON，可得x1x2+y1y2=5y1y2-8（y1+y2）+16=0，即可解出k．
考试点：A:直线和圆的方程的应用 B:二元二次方程表示圆的条件
知识点：本题考查了直线与圆相交问题转化为方程联立得到△＞0及根与系数关系、向量垂直与数量积的关系等基础知识与基本技能方法，属于难题．

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