已知函数f(x)=loga[(1a-2)x+1]在区间[1,3]上的函数值大于0恒成立,则实数a的取值范围是( ) A.(1,+∞) B.(0,35) C.(12,1) D.(12,35)
问题描述:
已知函数f(x)=loga[(
-2)x+1]在区间[1,3]上的函数值大于0恒成立,则实数a的取值范围是( )1 a
A. (1,+∞)
B. (0,
)3 5
C. (
,1)1 2
D. (
,1 2
) 3 5
答
设g(x)=(
−2)x+1,x∈[1,3]1 a
所以g(x)=(
−2)x+1是定义域上的单调函数,1 a
根据题意得
解得:0<a<
g(1)>0 g(3)>0
3 5
因为函数 f(x)=loga[(
−2)x+1]在区间上[1,3]的函数值大于0恒成立1 a
所以 loga[(
−2)x+1]>0在区间上[1,3]恒成立1 a
所以 loga[(
−2)x+1]>loga1在区间上[1,3]恒成立1 a
因为0<a<
3 5
所以 (
−2)x+1< 1在区间上[1,3]恒成立1 a
即 (
−2)x<0在区间上[1,3]恒成立1 a
所以
−2<01 a
解得a>
1 2
所以
<a<1 2
3 5
所以实数a的取值范围是
<a<1 2
.3 5
故选D.