已知函数f(x)=loga[(1a-2)x+1]在区间[1,3]上的函数值大于0恒成立,则实数a的取值范围是(  ) A.(1,+∞) B.(0,35) C.(12,1) D.(12,35)

问题描述:

已知函数f(x)=loga[(

1
a
-2)x+1]在区间[1,3]上的函数值大于0恒成立,则实数a的取值范围是(  )
A. (1,+∞)
B. (0,
3
5

C. (
1
2
,1)
D. (
1
2
3
5

设g(x)=(

1
a
−2)x+1,x∈[1,3]
所以g(x)=(
1
a
−2
)x+1是定义域上的单调函数,
根据题意得
g(1)>0
g(3)>0
解得:0<a<
3
5

因为函数 f(x)=loga[(
1
a
−2)x+1]
在区间上[1,3]的函数值大于0恒成立
所以 loga[(
1
a
−2)x+1]>0
在区间上[1,3]恒成立
所以 loga[(
1
a
−2)x+1]>loga1
在区间上[1,3]恒成立
因为0<a<
3
5

所以 (
1
a
−2)x+1< 1
在区间上[1,3]恒成立
(
1
a
−2)x<0
在区间上[1,3]恒成立
所以
1
a
−2<0

解得a>
1
2

所以
1
2
<a<
3
5

所以实数a的取值范围是
1
2
<a<
3
5

故选D.