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已知双曲线x2a2−y2b2＝1(a＞0，b＞0)的右焦点为F，右准线与一条渐近线交于点A，△OAF的面积为a22（O为原点），则两条渐近线的夹角为_．

分类: 作业答案 • 2021-12-01 17:17:21
问题描述：

已知双曲线

x2
a2
−
y2
b2
＝1(a＞0，b＞0)的右焦点为F，右准线与一条渐近线交于点A，△OAF的面积为
a2
2
（O为原点），则两条渐近线的夹角为______．

答

设A点是斜率为正的渐近线与右准线的交点
双曲线斜率为正的渐近线方程为：y=

b
a
x
而右准线为：x=
a2
c

于是，渐近线与右准线的交点A，其横坐标就是
a2
c
，纵坐标可求出是：
y=
ab
c

△OAF的面积若是以OF为底边计算的话，其上的高就是A点的纵坐标的绝对值，即：
ab
c

∴S△OAF=|OF|•
ab
c
•
1
2
=
ab
2c
=
ab
2

由题意有：
ab
2
=
a2
2

∴a=b
∴双曲线两条渐近线就是：y=±x
∴两条渐近线相互垂直
∴它们的夹角很容易得出是90°
故答案为90°

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