已知双曲线x2a2−y2b2＝1(a＞0，b＞0)的右焦点为F，过F的直线l交双曲线的渐近线于A，B两点，且与其中一条渐近线垂直，若AF＝4FB，则该双曲线的离心率为（ ）A. 55B. 255C. 105D. 2105
问题描述：
已知双曲线
−x2 a2
＝1(a＞0，b＞0)的右焦点为F，过F的直线l交双曲线的渐近线于A，B两点，且与其中一条渐近线垂直，若y2 b2
＝4
AF
，则该双曲线的离心率为（ ）
FB
A.
5
5
B.
2
5
5
C.
10
5
D.
2
10
5
答
知识点：本题考查双曲线的简单性质，涉及离心率的求解，属中档题．
由题意得右焦点F（c，0），设一渐近线OA的方程为y=bax，则另一渐近线OB的方程为y=-bax，设A（m，bma），B（n，-bna），∵AF＝4FB，∴（c-m，-bma）=4（n-c，-bna），∴c-m=4（n-c），-bma=-4bna，解之可得m=5c2，n=5...
答案解析：由题意得右焦点F（c，0），设一渐近线OA的方程为y=
x，则另一渐近线OB的方程为y=-b a
x，设A（m，b a
），B（n，-bm a
），由bn a
＝4
AF
可得方程，解之可得m=
FB
，n=5c 2
，可得B（5c 8
，−5c 8
），由FB⊥OB可得，斜率之积等于-1，进而可得ab的关系式，结合双曲线abc的关系，可得离心率．5bc 8a
考试点：双曲线的简单性质．
知识点：本题考查双曲线的简单性质，涉及离心率的求解，属中档题．