设双曲线x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的右焦点为F,右准线l与两条渐近线交于P、Q两点,如果△PQF是直角三角形,则双曲线的离心率e=______.
问题描述:
设双曲线
-x2 a2
=1(a>0,b>0)的右焦点为F,右准线l与两条渐近线交于P、Q两点,如果△PQF是直角三角形,则双曲线的离心率e=______. y2 b2
答
依题意可知右准线方程l:x=
,渐近线方程y=±a2 c
x,则有P(b a
,a2 c
),F(c,0)ab c
由题意|MF|=|MP|,即|c-
|=a2 c
整理得ab c
=
c2−a2
c
ab c
因为c2-a2=b2,将其代入上式得a=b
所以e=
=c a
=
a2+b2
a2
2
故答案为
.
2
答案解析:本题中由双曲线的对称性可得|PM|=|MQ|,又由△PQF是直角三角形得到|MF|=|MP|,通过这个等量关系可以得到a=b,即
=1,代入求离心率的公式,得到e=b c
.
2
考试点:椭圆的简单性质.
知识点:本题主要考查了双曲线的简单性质.解题的关键是熟练掌握双曲线中渐近线、准线、焦距等基本知识.