已知双曲线x2a2−y2b2= 1(a>0,b>0)的右焦点为F且斜率为3的直线交双曲线C于A、B两点,若AF=4FB,则C的离心率为_.

问题描述:

已知双曲线

x2
a2
y2
b2
= 1(a>0,b>0)的右焦点为F且斜率为
3
的直线交双曲线C于A、B两点,若
AF
=4
FB
,则C的离心率为______.

设AF=4m,BF=m.过A,B分别做准线的垂线,垂足为A1,B1.由双曲线定义得,
|AA1|=

4m
e
.|BB1|=
m
e
.过B做BD垂直于AA1垂足D.
在△ABD中,∠ABD=30°,|AD|=
1
2
|AB|.即
3m
e
=
1
2
×5m.解得e=
6
5