已知双曲线x2a2−y2b2= 1(a>0,b>0)的右焦点为F且斜率为3的直线交双曲线C于A、B两点,若AF=4FB,则C的离心率为_.
问题描述:
已知双曲线
−x2 a2
= 1(a>0,b>0)的右焦点为F且斜率为y2 b2
的直线交双曲线C于A、B两点,若
3
=4AF
,则C的离心率为______. FB
答
设AF=4m,BF=m.过A,B分别做准线的垂线,垂足为A1,B1.由双曲线定义得,
|AA1|=
.|BB1|=4m e
.过B做BD垂直于AA1垂足D.m e
在△ABD中,∠ABD=30°,|AD|=
|AB|.即1 2
=3m e
×5m.解得e=1 2
.6 5