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过双曲线x2a2−y2b2=1（a＞0，b＞0）的一个焦点F引它的一条渐近线的垂线FM，垂足为M，并且交y轴于E，若M为EF的中点，则该双曲线的离心率为（　　）A. 2B. 3C. 3D. 2

分类: 作业答案 • 2022-04-19 18:35:02
问题描述：

过双曲线

x2
a2
−
y2
b2
=1（a＞0，b＞0）的一个焦点F引它的一条渐近线的垂线FM，垂足为M，并且交y轴于E，若M为EF的中点，则该双曲线的离心率为（　　）
A. 2
B.
3

C. 3
D.
2

答

如图所示．
取右焦点F（c，0），渐近线y＝

b
a
x．
∵FM⊥OM，∴可得直线FM的方程为y＝−
a
b
(x−c)，
令x=0，解得y=
ac
b
，∴E(0，
ac
b
)．
∴线段FE的中点M(
c
2
，
ac
2b
)，
又中点M在渐近线y＝
b
a
x上，∴
ac
2b
＝
b
a
×
c
2
，解得a=b．
∴该双曲线的离心率e=
c
a
＝
 1+
b2
a2
=
 2
．
故选D．
答案解析：由双曲线的标准方程可得右焦点F，渐近线方程，利用中点坐标公式和相互垂直的直线的斜率之间的关系即可得出．
考试点：双曲线的简单性质．

知识点：熟练掌握双曲线的标准方程及其性质、中点坐标公式和相互垂直的直线的斜率之间的关系等是解题的关键．

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