如图，F1、F2为双曲线C：x2a2−y2b2＝1(a＞0，b＞0)的焦点，A、B为双曲线的顶点，以F1F2为直径的圆交双曲线的一条渐近线于M、N两点，且满足∠MAB=30°，则该双曲线的离心率为_．
问题描述：
如图，F1、F2为双曲线C：
−x2 a2
＝1(a＞0，b＞0)的焦点，A、B为双曲线的顶点，以F1F2为直径的圆交双曲线的一条渐近线于M、N两点，且满足∠MAB=30°，则该双曲线的离心率为______．y2 b2
答
由题意可知，圆的方程为x2+y2=c2，双曲线的渐近线方程为y=
x，b a
将其代入圆的方程得M（a，b），N（-a，-b）．因为∠BAM=30°．
连接MB，在Rt△MAB中，tan∠BAM=
=MB AB
=b 2a
，
3
3
＝b a
，2
3
3
所以e=
=c a
=
1+(
)2
b a
．
21
3
故答案为：
．
21
3