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已知数列{an}中，其中Sn为数列{an}的前n项和，并且Sn+1=4an+2 （n∈N*），a1=1（1）bn=an+1-2an （n∈N*），求证：数列{bn}是等比数列；（2）设数列cn=an2n（n∈N*）求证：数列{cn}是等差数列；（3）求数列{an}的通项公式和前n项．

分类: 作业答案 • 2022-05-25 23:57:13
问题描述：

已知数列{an}中，其中Sn为数列{an}的前n项和，并且Sn+1=4an+2 （n∈N*），a1=1
（1）bn=an+1-2an （n∈N*），求证：数列{bn}是等比数列；
（2）设数列cn=

an
2n
（n∈N*）求证：数列{cn}是等差数列；
（3）求数列{an}的通项公式和前n项．

答

（1）由Sn+1=4an+2 （n∈N*）知，Sn+2=4an+1+2，两式相减得an+2=4an+1-4an
an+2-2an+1=2（an+1-2an），又bn=an+1-2an所以bn+1=2bn…①
已知S2=4a1+2，a1=1解得a2=5，b1=a2-2a1=3     …②
由①②得数列{bn}是首项为3，公比为2的等比数列，∴bn=3•2n-1．…（4分）
（2）∵bn=an+1-2an=3•2n-1．…
∵cn=

an
2n
（n∈N*），
∴cn+1-cn=
 an+1
2n+1
−
an
2n
=
an+1−2an
2n+1
=
3•2n−1
2n+1
=
3
4
．
又c1=
a1
2
=
1
2
，
故数列{cn}是首项为
1
2
，公差是
3
4
的等差数列，
∴cn=
3
4
n-
1
4
…（8分）
（3）∵cn=
an
2n
（n∈N*） 
又cn=
3
4
n-
1
4

∴an=（3n-1）2n-2…（10分）
当n≥2时，Sn=4an-1+2=（3n-4）2n-1+2；
当n=1时S1=a1=1也适合上式，
所以{an}的前n项为Sn=（3n-4）2n-1+2…（12分）
答案解析：（1）先根据已知条件Sn+1=4an+2得到Sn+2=4an+1+2，作差整理即可得到数列{bn}是等比数列；
（2）直接根据数列{bn}是等比数列，求出an+1-2an 的表达式；再代入数列{cn}的作差式，整理即可得到结论．
（3）先根据数列{cn}是等差数列得到的通项得到an=（3n-1）2n-2；再结合Sn+1=4an+2 即可求出结论数列{an}的前n项和．
考试点：数列的求和；等差关系的确定；等比关系的确定．

知识点：本题主要考察数列的求和以及等差数列和等比数列的确定．解决本题的关键在于由Sn+1=4an+2 得到Sn+2=4an+1+2，进而作差整理得到数列{bn}是等比数列．

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