对于函数f(x),若f(x)=x,则称x为f(x)的“不动点”,若f(f(x))=x,则称x为f(x)的“稳定点”若f(x)=ax2-1(a∈R,x∈R),且A=B≠∅,求实数a的取值范围;(Ⅱ)∵A≠∅,∴ax2-1=x有实根,∴a≥-14.又A⊆B,所以a(ax2-1)2-1=x,即a3x4-2a2x2-x+a-1=0的左边有因式ax2-x-1,从而有(ax2-x-1)(a2x2+ax-a+1)=0.(6分)∵A=B,∴a2x2+ax-a+1=0要么没有实根,要么实根是方程ax2-x-1=0的根.若a2x2+ax-a+1=0没有实根,则a<34;若a2x2+ax-a+1=0有实根且实根是方程ax2-x-1=0的根,则由方程ax2-x-1=0,得a2x2=ax+a,代入a2x2+ax-a+1=0,有2ax+1=0.由此解得x=-12a,再代入得14a+12a-1=0,由此a=34,故a的取值范围是[-14,34].∵A=B,∴a2x2+ax-a+1=0要么没有实根,要么实根是方程ax2-x-1=

问题描述:

对于函数f(x),若f(x)=x,则称x为f(x)的“不动点”,若f(f(x))=x,则称x为f(x)的“稳定点”
若f(x)=ax2-1(a∈R,x∈R),且A=B≠∅,求实数a的取值范围;
(Ⅱ)∵A≠∅,∴ax2-1=x有实根,
∴a≥-
14.又A⊆B,所以a(ax2-1)2-1=x,
即a3x4-2a2x2-x+a-1=0的左边有因式ax2-x-1,
从而有(ax2-x-1)(a2x2+ax-a+1)=0.(6分)
∵A=B,
∴a2x2+ax-a+1=0要么没有实根,要么实根是方程ax2-x-1=0的根.若a2x2+ax-a+1=0没有实根,
则a<
34;若a2x2+ax-a+1=0有实根且实根是方程ax2-x-1=0的根,
则由方程ax2-x-1=0,得a2x2=ax+a,代入a2x2+ax-a+1=0,有2ax+1=0.
由此解得x=-
12a,再代入得14a+
12a-1=0,
由此a=
34,故a的取值范围是[-
14,
34].
∵A=B,
∴a2x2+ax-a+1=0要么没有实根,要么实根是方程ax2-x-1=0的根