已知数列{an}的首项a1=a（a是常数且a≠-1），an=2an-1+1（n∈N，n≥2）．（Ⅰ）{an}是否可能是等差数列．若可能，求出{an}的通项公式；若不可能，说明理由；（Ⅱ）设bn=an+c（n∈N，c是常数），若{bn}是等比数列，求实数c的值，并求出{bn}的通项公式．
问题描述：
已知数列{an}的首项a1=a（a是常数且a≠-1），an=2an-1+1（n∈N，n≥2）．
（Ⅰ）{an}是否可能是等差数列．若可能，求出{an}的通项公式；若不可能，说明理由；
（Ⅱ）设bn=an+c（n∈N，c是常数），若{bn}是等比数列，求实数c的值，并求出{bn}的通项公式．
答
（I）∵a1=a（a≠-1），a2=2a+1，a3=2a2+1=2（2a+1）+1=4a+3，a1+a3=5a+3，2a2=4a+2．
∵a≠-1，∴5a+3≠4a+2，即a1+a3≠2a2，故{an}不是等差数列．
（II）由{bn}是等比数列，得b1b3=b2 ，即（a+c）（4a+3+c）=（2a+1+c）2，
化简得a-c-ac+1=0，即（a+1）（1-c）=0．
∵a≠-1，∴c=1，∴b1=a+1，q=
=2．b2 b1
∴bn=b1qn-1=（a+1）•2n-1．
答案解析：（I）根据an=2an-1+1求出a1、a2、a3，判断aa1+a3是否等于2a2从而得出{an}是否是等差数列；
（II）利用等比中项得出bb1b3=b2 ，然后将值代入得出（a+1）（1-c）=0，从而求出a、c的值，即可求出公比q，从而求出通项公式．
考试点：等比数列的性质；等差关系的确定．
知识点：本题考查等差数列的证明，考查数列的通项以及等比数列的通项公式的求法，属于中档题．