一个球与正四面体的六条棱都相切，若正四面体的棱长为a，则这个球的体积是 ___ ．
问题描述：
一个球与正四面体的六条棱都相切，若正四面体的棱长为a，则这个球的体积是 ___ ．
答
取球心O，则O与任一棱的距离即为球的半径．
如图，设CD的中点为E，底面的中心为G，
则AG⊥底面BCD，AE=BE=
a，
3
2
AG=
a，AO=
6
3
a，BG=
6
4
a，
3
3
由Rt△ABG∽Rt△AOH，
∴AB：AO=BG：OH．
∴OH=
=AO•BG AB
a．
2
4
∴V=
πr3=4 3
πa3．
2
24
故答案为
πa3．．
2
24
答案解析：取底面BCD的中心G，CD的中点E，球心O（在线段AG上），作OH⊥AB，垂足为H，并求出有关线段的长，利用Rt△ABG∽Rt△AOH，即可求出球的半径．
考试点：棱柱、棱锥、棱台的体积．
知识点：本题考查球与正四面体的六条棱都相切问题，求出球的半径是解决问题的关键．或先求EH，则球的半径为
EH．1 2