过抛物线C：y^2=2px的焦点F作弦AB,M是弦AB的中点,过M作x轴的平行线交抛物线于N求证AB=4NF
问题描述：
过抛物线C：y^2=2px的焦点F作弦AB,M是弦AB的中点,过M作x轴的平行线交抛物线于N求证AB=4NF
答
作抛物线准线L：x=－p/2
过点A作AC垂直L,垂足是D；过点B作BC垂直L,垂足是C；延长MN交准线L于点E
可以证明：
(1)EF垂直AB；
(2)在直角三角形AFM中,有：EN=NF,从而有：EN=NM=NF
(3)AB=AD＋BC=2EM=4NF
则：AB=4NF为什么EF垂直AB？为什么NM=NF？连接AE、BE(1)、EM=(1/2)(AD＋BC)=(1/2)AB=MA=MB，则三角形AEB是直角三角形，且AE⊥BE；(2)、由于：AD//ME，则：∠DAE=∠AEM，又：ME=MA，则：∠AEM=∠MAE则：∠DAE=∠MAE(3)三角形WDA与三角形EFA全等【理由：AE=AE、AD=AF、∠DAE=∠FAE】(4)得到：∠EFA=∠EDA(5)则：EF⊥AB 在直角三角形EFM中，有：NF=NE，则：∠NEF=∠NFE，则：∠NMF=∠NFM，得：FN=NM所以有：NE=NF=NM即：NF=(1/2)ME，而ME=(1/2)AB，则：AB=4NF