已知双曲线C的渐近线方程为y＝±3x，右焦点F（c，0）到渐近线的距离为3．（1）求双曲线C的方程；（2）过F作斜率为k的直线l交双曲线于A、B两点，线段AB的中垂线交x轴于D，求证：|AB||FD|为

问题描述：

已知双曲线C的渐近线方程为y＝±

x，右焦点F（c，0）到渐近线的距离为

．
（1）求双曲线C的方程；
（2）过F作斜率为k的直线l交双曲线于A、B两点，线段AB的中垂线交x轴于D，求证：

|AB|

|FD|

为定值．

答

（1）设双曲线方程为3x²-y²=λ（λ＞0）…（2分）
由题知c=2，∴

+λ＝4，∴λ=3…（4分）
∴双曲线方程为：x2−

＝1…（5分）
（2）设直线l的方程为y=k（x-2）代入x2−

＝1
整理得（3-k²）x²+4k²x-4k²-3=0…（6分）
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），AB的中点P（x₀，y₀）
则x0＝−

2k2

3−k2

，代入l得：y0＝

−6k

3−k2

…（7分）
|AB|＝

1+k2

|x1−x2|＝…＝

6(k2+1)

|3−k2|

…（8分）
AB的垂直平分线方程为y＝−

(x+

2k2

3−k2

)−

3−k2

…（9分）
令y=0得xD＝

−8k2

3−k2

…（10分）
∴|FD|＝|

−8k2

3−k2

−2|＝|

−6(1+k2)

3−k2

|＝

6(1+k2)

|3−k2|

…（11分）
∴

|AB|

|FD|

＝1为定值．…（12分）

已知双曲线C的渐近线方程为y＝±3x，右焦点F（c，0）到渐近线的距离为3． （1）求双曲线C的方程； （2）过F作斜率为k的直线l交双曲线于A、B两点，线段AB的中垂线交x轴于D，求证：|AB||FD|为