在△ABC中,∠A、∠B、∠C所对的边长分别为a、b、c,设a、b、c满足条件b2+c2-bc=a2和c/b=1/2+3,求∠A和tanB的值.

问题描述:

在△ABC中,∠A、∠B、∠C所对的边长分别为a、b、c,设a、b、c满足条件b2+c2-bc=a2

c
b
=
1
2
+
3
,求∠A和tanB的值.

由b2+c2-bc=a2,根据余弦定理得cosA=

b2+c2a2
2bc
=
bc
2bc
=
1
2
>0,则∠A=60°;
因此,在△ABC中,∠C=180°-∠A-∠B=120°-∠B.
由已知条件,应用正弦定理
1
2
+
3
=
c
b
=
sinC
sinB
=
sin(120°−B)
sinB
=
sin120°cosB−cos120°sinB
sinB
=
3
2
cotB+
1
2

解得cotB=2,从而tanB=
1
2

所以∠A=60°,tanB=
1
2