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已知函数f（x）=3sin2x+cos（2x+π3）+cos（2x-π3）-1其中x∈[-π6，0]（Ⅰ）求函数f（x）的周期和值域（Ⅱ）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若f（B）=0，BABA•BC=32，且a+c=4，求边b的长．

分类: 作业答案 • 2023-01-22 23:07:46
问题描述：

已知函数f（x）=

 3
sin2x+cos（2x+
π
3
）+cos（2x-
π
3
）-1其中x∈[-
π
6
，0]
（Ⅰ）求函数f（x）的周期和值域
（Ⅱ）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若f（B）=0，BA
BA
•
BC
=
3
2
，且a+c=4，求边b的长．

答

（Ⅰ）f（x）=

 3
sin2x+cos（2x+
π
3
）+cos（2x-
π
3
）-1
=2sin（2x+
π
6
）-1．…（3分）
周期是π，由x∈[-
π
6
，0]，2x+
π
6
∈[-
π
6
，
π
6
]，
∴-2≤2sin（2x+
π
6
）-1≤0，
∴函数f（x）的值域是[-2，0]．…（7分）
（Ⅱ）由f（B）=2sin（2B+
π
6
）-1=0得
sin（2B+
π
6
）=
1
2
，由0＜B＜π，得B=
π
3
．…（10分）
由
BA
•
BC
=
3
2
，得accosB=
3
2
，得ac=3．   …（12分）
再由余弦定理得，b2=a2+a2-2accosB=（a+c）2-3ac=7．
∴b=
 7
．       …（14分）
答案解析：（Ⅰ）利用辅助角公式可将f（x）化简为f（x）=2sin（2x+
π
6
）-1，从而可求得函数f（x）的周期和值域；
（Ⅱ）在△ABC中，由f（B）=0，可求得B=
π
3
，由
BA
•
BC
=
3
2
，可求得ac=3，再利用余弦定理即可求得b．
考试点：两角和与差的正弦函数；余弦定理．

知识点：本题考查两角和与差的正弦函数，考查正弦函数的单调性与闭区间上的值域，考查余弦定理，属于中档题．

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