已知函数f(x)=x2+bx+c(b、c∈R)且当x≤1时,f(x)≥0,当1≤x≤3时,f(x)≤0恒成立.(1)求b、c之间的关系式;(2)当c≥3时,是否存在实数m使得g(x)=f(x)-m2x在区间(0,+∞)上是单调函数?若存在,求出m的取值范围;若不存在,请说明理由.

问题描述:

已知函数f(x)=x2+bx+c(b、c∈R)且当x≤1时,f(x)≥0,当1≤x≤3时,f(x)≤0恒成立.
(1)求b、c之间的关系式;
(2)当c≥3时,是否存在实数m使得g(x)=f(x)-m2x在区间(0,+∞)上是单调函数?若存在,求出m的取值范围;若不存在,请说明理由.

(1)由已知f(1)≥0与f(1)≤0同时成立,则必有f(1)=0,故b+c+1=0.
(2)假设存在实数m,使满足题设的g(x)存在.
∵g(x)=f(x)-m2x=x2+(b-m2)x+c开口向上,且在[

m2−b
2
,+∞)上单调递增,
m2−b
2
≤0.∴b≥m2≥0.
∵c≥3,∴b=-(c+1)≤-4.
这与上式矛盾,从而能满足题设的实数m不存在.
答案解析:(1)由f(1)=0可得答案.
(2)先假设存在m满足条件,再写出函数g(x)的解析式故居其在区间(0,+∞)上单调进行解题.
考试点:一元二次不等式与二次函数.
知识点:本题主要考查一元二次函数的图象与性质.一元二次函数的对称性、最值、单调性是每年高考必考内容,要引起重视.