已知函数f(x)=x^2+ax+b/x是奇函数,且满足f(1)=f(4),(1)求实数a、b的值 （2）试证明,函数f(x)在区间(0,2]单调递减,在区间(2,正无穷大）单调递增.（3）是否存在实数k同时满足以下两个条件：1：不等式f(x)+k/2＜0对x∈(0,正无穷大）恒成立、2:方程f(x)＝k在x∈[-6,-1]上有解.若存在,试求出实数k的取值范围,若不存在,请说明理由.
问题描述：
已知函数f(x)=x^2+ax+b/x是奇函数,且满足f(1)=f(4),(1)求实数a、b的值 （2）试证明,
函数f(x)在区间(0,2]单调递减,在区间(2,正无穷大）单调递增.（3）是否存在实数k同时满足以下两个条件：1：不等式f(x)+k/2＜0对x∈(0,正无穷大）恒成立、2:方程f(x)＝k在x∈[-6,-1]上有解.若存在,试求出实数k的取值范围,若不存在,请说明理由.
答
(1)∵f(x)=(x^2+ax+b)/x是奇函数
∴a=0；
∴f(x)=(x^2+b)/x
又∵f(1)=f(4)
∴4(1+b)=16+b
b=4
∴a=0；b=4
(2)f(x)=(x^2+4)/x
另 f'(x)=1-4/x^2=0得x=2,-2
易知：当0