设椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的两焦点为F1、F2,若椭圆上存在一点Q,使∠F1QF2=120°,椭圆离心率e的取值范围为(  ) A.32≤e<1 B.63<e<1 C.0<e≤63 D.12<e<1

问题描述:

设椭圆

x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)的两焦点为F1、F2,若椭圆上存在一点Q,使∠F1QF2=120°,椭圆离心率e的取值范围为(  )
A.
3
2
≤e<1

B.
6
3
<e<1

C. 0<e≤
6
3

D.
1
2
<e<1

椭圆的焦点在x轴,设椭圆的上顶点为A,
∵椭圆上存在一点Q,∠F1QF2=120°,
∴∠F1AO≥60°,
∴tan∠F1AO=

c
b
3

b2
c2
1
3
b2
c2
=
a2c2
c2
1
3

c2
a2
3
4

∴e=
c
a
3
2
,又e<1.
3
2
≤e<1.
故选A.