已知点F是双曲线x2a2−y2b2＝1(a＞0，b＞0)的左焦点，点E是该双曲线的右顶点，过F且垂直于x轴的直线与双曲线交于A，B两点，若△ABE是直角三角形，则该双曲线的离心率e为（ ）A. 2B. 2C. 3D. 1+2
问题描述：
已知点F是双曲线
−x2 a2
＝1(a＞0，b＞0)的左焦点，点E是该双曲线的右顶点，过F且垂直于x轴的直线与双曲线交于A，B两点，若△ABE是直角三角形，则该双曲线的离心率e为（ ）y2 b2
A.
2
B. 2
C.
3
D. 1+
2
答
∵△ABE是直角三角形，∴∠AEB为直角
∵双曲线关于x轴对称，且直线AB垂直x轴
∴∠AEF=∠BEF=45°
∴|AF|=|EF|
∵F为左焦点，设其坐标为（-c，0）
∴|AF|=
b2 a
∴|EF|=a+c
∴
=a+cb2 a
∴c2-ac-2a2=0
∴e2-e-2=0
∵e＞1，
∴e=2
故选B．
答案解析：利用双曲线的对称性及直角三角形，可得∠AEF=45°，从而|AF|=|EF|，求出|AF|，|EF|得到关于a，b，c的等式，即可求出离心率的值．
考试点：双曲线的简单性质．
知识点：本题考查双曲线的对称性、考查双曲线的三参数关系：c2=a2+b2、考查双曲线的离心率，属于中档题．