已知点F是双曲线x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的左焦点,点E是该双曲线的右顶点,过F且垂直于x轴的直线与双曲线交于A,B两点,若△ABE是直角三角形,则该双曲线的离心率e为(  )A. 2B. 2C. 3D. 1+2

问题描述:

已知点F是双曲线

x2
a2
y2
b2
=1(a>0,b>0)的左焦点,点E是该双曲线的右顶点,过F且垂直于x轴的直线与双曲线交于A,B两点,若△ABE是直角三角形,则该双曲线的离心率e为(  )
A.
2

B. 2
C.
3

D. 1+
2

∵△ABE是直角三角形,∴∠AEB为直角
∵双曲线关于x轴对称,且直线AB垂直x轴
∴∠AEF=∠BEF=45°
∴|AF|=|EF|
∵F为左焦点,设其坐标为(-c,0)
∴|AF|=

b2
a

∴|EF|=a+c
b2
a
=a+c
∴c2-ac-2a2=0
∴e2-e-2=0
∵e>1,
∴e=2
故选B.
答案解析:利用双曲线的对称性及直角三角形,可得∠AEF=45°,从而|AF|=|EF|,求出|AF|,|EF|得到关于a,b,c的等式,即可求出离心率的值.
考试点:双曲线的简单性质.
知识点:本题考查双曲线的对称性、考查双曲线的三参数关系:c2=a2+b2、考查双曲线的离心率,属于中档题.