在平面直角坐标系xOy中，双曲线E：x2a2-y2b2=1（a＞0，b＞0）的左顶点为A，过双曲线E的右焦点F作与实轴垂直的直线交双曲线E于B，C两点，若△ABC为直角三角形，则双曲线E的离心率为______．
问题描述：
在平面直角坐标系xOy中，双曲线E：
-x2 a2
=1（a＞0，b＞0）的左顶点为A，过双曲线E的右焦点F作与实轴垂直的直线交双曲线E于B，C两点，若△ABC为直角三角形，则双曲线E的离心率为______． y2 b2
答
知识点：本题给出双曲线满足的条件，求双曲线的离心率．着重考查了双曲线的标准方程与简单几何性质、直角三角形的性质等知识，属于中档题．
∵过双曲线
-x2 a2
=1的右焦点F作与实轴垂直的直线交双曲线E于B，C两点，y2 b2
∴设x=c，得
-c2 a2
=1，解之得y=±y2 b2
，得B（c，b2 a
）、C（c，-b2 a
）b2 a
∵左顶点A（-a，0）与B、C构成直角三角形，
∴根据双曲线的对称性，得A到BC的距离等于BC长的一半，
可得c+a=
，即c+a=b2 a
，化简得c2-ac-2a2=0
c2−a2
a
两边都除以a2，得e2-e-2=0，解之得e=2（舍负）
即双曲线E的离心率为2
故答案为：2
答案解析：利用双曲线方程算出B（c，
）、C（c，-b2 a
），由双曲线的性质得△ABC为等腰直角三角形，可得A到BC的距离等于BC长的一半，由此建立关于a、b、c的等式，化简整理为关于离心率的方程，即可解出双曲线E的离心率．b2 a
考试点：双曲线的简单性质．
知识点：本题给出双曲线满足的条件，求双曲线的离心率．着重考查了双曲线的标准方程与简单几何性质、直角三角形的性质等知识，属于中档题．