在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若B=π4,0<A<π2,且a2,b2,c2成等差数列,则tanA=_.

问题描述:

在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若B=

π
4
,0<A<
π
2
,且a2,b2,c2成等差数列,则tanA=______.

∵a2,b2,c2成等差数列,
∴2b2=a2+c2
利用正弦定理化简得:2sin2B=sin2A+sin2C,
化简得:1-cos2B=

1−cos2A
2
+
1−cos2C
2
,即cos2A+cos2C=2cos2B=0,
即2cos(A+C)cos(A-C)=0,
∴cos(A-C)=0,即A-C=-
π
2

∴C=A+
π
2

∴A=π-B-C=
4
-A-
π
2
,即A=
π
8

∴tan2A=
2tanA
1−tan2A
=tan
π
4
=1,
整理得:tanA=
2
-1或tanA=-
2
-1(舍去),
则tanA=
2
-1,
故答案为:
2
-1