设函数f(x)=1/3x3-ax2-ax，g（x）=2x2+4x+c． （1）试问函数f（x）能否在x=-1时取得极值？说明理由； （2）若a=-1，当x∈[-3，4]时，函数f（x）与g（x）的图象有两个公共点，求c的取值范围．
问题描述：
设函数f(x)=
x3-ax2-ax，g（x）=2x2+4x+c．1 3
（1）试问函数f（x）能否在x=-1时取得极值？说明理由；
（2）若a=-1，当x∈[-3，4]时，函数f（x）与g（x）的图象有两个公共点，求c的取值范围．
答
（1）由题意f′（x）=x2-2ax-a，
假设在x=-1时f（x）取得极值，则有f′（-1）=1+2a-a=0，∴a=-1，
而此时，f′（x）=x2+2x+1=（x+1）2≥0，函数f（x）在R上为增函数，无极值．
这与f（x）在x=-1有极值矛盾，所以f（x）在x=-1处无极值；
（2）令f（x）=g（x），则有
x3-x2-3x-c=0，∴c=1 3
x3-x2-3x，1 3
设F（x）=
x3-x2-3x，G（x）=c，令F′（x）=x2-2x-3=0，解得x1=-1或x=3．1 3
列表如下：
由此可知：F（x）在（-3，-1）、（3，4）上是增函数，在（-1，3）上是减函数．
当x=-1时，F（x）取得极大值F(−1)＝
；当x=3时，F（x）取得极小值5 3
F（-3）=F（3）=-9，而F(4)＝−
．20 3
如果函数f（x）与g（x）的图象有两个公共点，则函数F（x）与G（x）有两个公共点，
所以−
＜c＜20 3
或c=-9．5 3