在四棱锥P-ABCD中，ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，M、N分别是AB、PC的中点 （1）求证：MN∥平面PAD； （2）当MN⊥平面PCD时，求二面角P-CD-B的大小．
问题描述：
在四棱锥P-ABCD中，ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，M、N分别是AB、PC的中点
（1）求证：MN∥平面PAD；
（2）当MN⊥平面PCD时，求二面角P-CD-B的大小．
答
（1）证明：取CD的中点E，连接ME、NE．
∵M、N分别是AB、PC的中点，
∴NE∥PD，ME∥AD．于是NE∥平面PAD，
ME∥平面PAD．
∴平面MNE∥平面PAD，MN⊂平面MNE．
∴MN∥平面PAD．
（2）设MA=MB=a，BC=b，则MC=
．
a2+b2
∵N是PC的中点，MN⊥平面PCD，
∴MN⊥PC．于是MP=MC=
．
a2+b2
∵PA⊥平面ABCD，
∴PA⊥AM，PA=
=b．
PM2−AM2
于是PD=
b，EN是△PDC的中位线，EN=
2
PD=1 2
b．
2
2
∵ME⊥CD，MN⊥平面PCD，
∴EN⊥CD，∠MEN即为二面角P-CD-B的平面角．
设为α，于是cosα=
=EN EM
，α=45°，即二面角P-CD-B的大小为45°．
2
2