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如图，已知P是平行四边形ABCD所在平面外一点，M，N分别是AB，PC的中点．（1）求证：MN∥平面PAD；（2）若MN=BC=4，PA=43，求异面直线PA与MN所成的角的大小．

分类: 作业答案 • 2023-01-06 06:55:25

问题描述：

如图，已知P是平行四边形ABCD所在平面外一点，M，N分别是AB，PC的中点．

（1）求证：MN∥平面PAD；
（2）若MN=BC=4，PA=4

3

，求异面直线PA与MN所成的角的大小．

答

（1）证明：取PD中点Q，连AQ、QN，则AM∥QN，且AM=QN，
∴四边形AMNQ为平行四边形
∴MN∥AQ
又∵AQ在平面PAD内，MN不在平面PAD内
∴MN∥面PAD；
（2）∵MN∥AQ
∴∠PAQ即为异面直线PA与MN所成的角
∵MN=BC=4，PA=4

3

，
∴AQ=4，根据余弦定理可知cos∠AQD+cos∠AQP=0
即

16+x2−48

8x

+

16+x2−16

8x

＝0
解得x=4
在三角形AQP中，AQ=PQ=4，AP=4

3

∴cos∠PAQ=

48+16−16

2×4×4

3

=

3

2

即∠PAQ=30°
∴异面直线PA与MN所成的角的大小为30°．