如图，PA⊥矩形ABCD所在的平面，M，N分别是AB，PC的中点． （1）求证：MN∥平面PAD； （2）求证：MN⊥CD； （3）若∠PDA=π4，求证：平面PMC⊥平面PCD．
问题描述：
如图，PA⊥矩形ABCD所在的平面，M，N分别是AB，PC的中点．
（1）求证：MN∥平面PAD；
（2）求证：MN⊥CD；
（3）若∠PDA=
，求证：平面PMC⊥平面PCD． π 4
答
（1）取PD中点E，连接AE、EN
则EN
∥ .
CD1 2
∥ .
AB1 2
AM，∥ .
故四边形AMNE为平行四边形
∴MN∥AE
又AE⊂平面PAD，MN⊄平面PAD
∴MN∥平面PAD（5分）
（2）∵PA⊥平面ABCD∴PA⊥AB
又AD⊥AB∴AB⊥平面PAD
∴AB⊥AE，即AB⊥MN
又CD∥AB，∴MN⊥CD（10分）
（3）∵PA⊥平面ABCD∴PA⊥AD
又∠APD=45°，E为PD中点∴AE⊥PD
又AE∥MN∴MN⊥PD
又MN⊥CD且PD∩CD=D
∴MN⊥平面PCD
又MN⊂平面PMC，
∴平面PMC⊥平面PCD（14分）