在四棱锥P-ABCD中,PA垂直底面ABCD,PA=AB=AC=2,底面ABCD是平行四边形,且角ABC=派/4,若M,N分别为PA,BC...在四棱锥P-ABCD中,PA垂直底面ABCD,PA=AB=AC=2,底面ABCD是平行四边形,且角ABC=派/4,若M,N分别为PA,BC的中点.求证,直线MN//平面PCD?

问题描述:

在四棱锥P-ABCD中,PA垂直底面ABCD,PA=AB=AC=2,底面ABCD是平行四边形,且角ABC=派/4,若M,N分别为PA,BC...
在四棱锥P-ABCD中,PA垂直底面ABCD,PA=AB=AC=2,底面ABCD是平行四边形,且角ABC=派/4,若M,N分别为PA,BC的中点.求证,直线MN//平面PCD?

连接AN,作AD的平行线ME交PD为E点;作EF平行于PA交AD 为F点
由于ME与1/2AD平行相等;NC与1/2BC平行相等,而BC与AD平行相等,故ME与NC平行相等,故四边形MECN为平行四边形,故EC与MN平行,而EC为平面PDC上的线得证

做pd的中点E连结ME,CE
在三角形PAD中ME是中位线所以ME=1/2(AD) ME//AD
因为底面ABCD是平行四边形
AD=BC且AD//BC N为BC中点所以MC//AD//NC
ME//NC且ME=NC所以NMEC是平行四边形
MN//EC
MN//平面PCD

多条件未用,可能不止一个问题?取AD中点Q,连结MQ,NQ,则MQ是三角形PAD中位线,MQ//PD,而四边形ABCD是平行四边形,N是BC中点,故NQ//CD,NQ∩MQ=Q,PQ∩CD=D,平面MQN//平面PDC,MN∈平面MQN,故MN//平面PDC.