如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是矩形,M,N分别为PA,BC的中点,PD垂直于平面ABCD,且PD＝AD＝根号2,CD=1(1)证明：MN平行于平面PCD(2)证明：MC垂直于BD(3)求二面角A-PB-D的余弦值
问题描述：
如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是矩形,M,N分别为PA,BC的中点,PD垂直于平面ABCD,且PD＝AD＝根号2,CD=1(1)证明：MN平行于平面PCD(2)证明：MC垂直于BD(3)求二面角A-PB-D的余弦值
答
前两问用向量法解比较简便
1.建立坐标系,以D为原点,DA为X轴,DC为Y轴,DP为Z轴
则各个点的坐标为
P(0,0,√2),A(√2,0,0),B(√2,1,0),C(0,1,0)
由中点关系,易知M,N的坐标
M(√2/2,0,√2/2),N(√2/2,1,0)
所以呢
向量MN=(0,1,-√2/2)=3*向量DC-(1/2)向量DP,其中DC,DP均为平面PCD上的向量
所以MN//平面PCD
2.向量MC=(-√2/2,1,-√2/2)
向量BD=(√2,1,0)
向量MC*向量BD=0
所以MC⊥BD
3.解出各自法向量再算也很简单,运算量可能会大点,这里我用几何法了
过A作AE⊥BD于E
因为PD⊥AE(PD⊥那个面了)
BD⊥AE
所以
AE⊥平面PBD
在矩形ABCD中计算AE=√6/3
过A作AF⊥PB于F,在RTΔPAB中计算AF=2√5/5
所以sinθ=AE/AF=√(5/6)
因此cosθ=√6/6