在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,向量m=(sinB+sinc,sinA−sinB),n=(sinB−sinC,sin(B+C)),且m⊥n.(1)求角C的大小;(2)若sinA=4/5,求cosB的值.
问题描述:
在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,向量
=(sinB+sinc,sinA−sinB),m
=(sinB−sinC,sin(B+C)),且n
⊥m
.n
(1)求角C的大小;
(2)若sinA=
,求cosB的值. 4 5
答
(1)由
⊥m
可得,n
•m
=sin2B-sin2C+sin2A-sinAsinB=0,n
由正弦定理,得b2-c2+a2-ab=0.…(2分)
再结合余弦定理得cosC=
=
a2+b2-c2
2ab
=ab 2ab
.…(4分)1 2
∵0<C<π,∴C=
.…(6分)π 3
(2)∵sinC=
=
3
2
>
75
10
=
64
10
=sinA,∴由正弦定理知c>a,4 5
故
=C>A,故cosA=π 3
.…(9分)3 5
∴cosB=-cos(A+C)=sinAsinC-cosAcosC=
.…(12分)4
-3
3
10