一道高中不等式证明题已知正数x,y,z满足x+y+z=1求证：x^2/(y+2z)+y^2/(z+2x)+z^2/(x+2y)>=1/3
问题描述：
一道高中不等式证明题
已知正数x,y,z满足x+y+z=1
求证：x^2/(y+2z)+y^2/(z+2x)+z^2/(x+2y)>=1/3
答
楼主，请换元。。令
λ1 =y+2z（ λ1 >0 ）
λ2 =z +2x（ λ2 >0 ）
λ3 =x+2z （ λ3 >0 ）
可以解得 x=1/9 *(4λ2 +λ3- 2λ1)
y=1/9 *(4λ3 +λ1- 2λ2)
z=1/9 *(4λ1 +λ2- 2λ3)
接下来，楼主将其回代入左边的代数式，化简，然后分组使用均值不等式 即可，等号成立的条件是当且仅当 x=y=z 时 取“＝”）。
答
由柯西不等式：[(y+2z)+(z+2x)+(x+2y)][x^2/(y+2z)+y^2/(z+2x)+z^2/(x+2y)]>=(x+y+z)^2=1且有(y+2z)+(z+2x)+(x+2y)=3(x+y+z)=3所以x^2/(y+2z)+y^2/(z+2x)+z^2/(x+2y)>=1/3证毕.注：本题为2009年浙江省高考数学自选模...