设双曲线x29−y216＝1的右顶点为A，右焦点为F．过点F且与双曲线的一条渐近线平行的直线与另一条渐近线交于点B，则△AFB的面积为______．
问题描述：
设双曲线
−x2 9
＝1的右顶点为A，右焦点为F．过点F且与双曲线的一条渐近线平行的直线与另一条渐近线交于点B，则△AFB的面积为______． y2 16
答
根据题意，得a2=9，b2=16，
∴c=
=5，且A（3，0），F（5，0），
a2+b2
∵双曲线
−x2 9
＝1的渐近线方程为y=±y2 16
x4 3
∴直线BF的方程为y=±
（x-5），4 3
①若直线BF的方程为y=
（x-5），与渐近线y=-4 3
x交于点B（4 3
，-5 2
）10 3
此时S△AFB=
|AF|•|yB|=1 2
•2•1 2
=10 3
；10 3
②若直线BF的方程为y=-
（x-5），与渐近线y=4 3
x交点B（4 3
，5 2
）10 3
此时S△AFB=
|AF|•|yB|=1 2
•2•1 2
=10 3
．10 3
因此，△AFB的面积为
10 3
故答案为：
10 3
答案解析：由双曲线的方程可得a、b的值，进而可得c的值，得到A、F两点的坐标．因此可得设BF的方程为y=±
（x-5），与双曲线的渐近方程联解得到点B的坐标，即可算出△AFB的面积，得到本题答案．4 3
考试点：双曲线的简单性质．
知识点：本题给出双曲线右顶点为A，过右焦点F与一条渐近线平行的直线，交另一条渐近线于B，求△ABF的面积，着重考查了双曲线的标准方程与简单几何性质的知识，属于中档题．