若双曲线C:x2-y2=1的右顶点为A,过A的直线l与双曲线C的两条渐近线交于P,Q两点,且PA=2AQ,则直线l的斜率为_.

问题描述:

若双曲线C:x2-y2=1的右顶点为A,过A的直线l与双曲线C的两条渐近线交于P,Q两点,且

PA
=2
AQ
,则直线l的斜率为______.

双曲线的右顶点A(1,0),设l的方程为x=my+1,代入双曲线方程,可得(m2-1)y2+2my+1=0
设点P(x1,y1),Q(x2,y2),则y1+y2=

2m
1−m2
①,y1y2
1
m2−1

PA
=2
AQ

∴y1=-2y2③,
由①②③可得m=±
1
3

∴直线l的斜率为±3
故答案为:±3.