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设双曲线x29−y216＝1的右顶点为A，右焦点为F．过点F且与双曲线的一条渐近线平行的直线与另一条渐近线交于点B，则△AFB的面积为_．

分类: 作业答案 • 2023-01-15 14:00:21
问题描述：

设双曲线

x2
9
−
y2
16
＝1的右顶点为A，右焦点为F．过点F且与双曲线的一条渐近线平行的直线与另一条渐近线交于点B，则△AFB的面积为______．

答

根据题意，得a2=9，b2=16，
∴c=

a2+b2
=5，且A（3，0），F（5，0），
∵双曲线
x2
9
−
y2
16
＝1的渐近线方程为y=±
4
3
x
∴直线BF的方程为y=±
4
3
（x-5），
①若直线BF的方程为y=
4
3
（x-5），与渐近线y=-
4
3
x交于点B（
5
2
，-
10
3
）
此时S△AFB=
1
2
|AF|•|yB|=
1
2
•2•
10
3
=
10
3
；
②若直线BF的方程为y=-
4
3
（x-5），与渐近线y=
4
3
x交点B（
5
2
，
10
3
）
此时S△AFB=
1
2
|AF|•|yB|=
1
2
•2•
10
3
=
10
3
．
因此，△AFB的面积为
10
3

故答案为：
10
3

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