不共面的空间四点A,B,C,D若AB垂直CD,AD垂直 BC,求证AC垂直 BD
问题描述:
不共面的空间四点A,B,C,D若AB垂直CD,AD垂直 BC,求证AC垂直 BD
答
首先把ABCD四点两两连接,过顶点A做AO垂直于底面BCD,则A在底面的射影为O。因为AB垂直于CD,AD垂直于BC,所以BO垂直于CD,DO垂直于BC,所以O是底面BCD的垂心,所以CO垂直于BD,所以AC垂直于BD
答
ABC组成三角形,D在平面ABC外.
过D做平面ABC的垂线,交于E.平面AED垂直平面ABC,平面CED垂直平面ABC.(同一平面的两条相交直线都垂直于另一个平面,这两个平面就相互垂直.)
可知AE垂直BC,CE垂直AB.
E是三角形ABC的垂心.
BE垂直AC.
AC就垂直BD.