设f(x)=2x−12x+1.(Ⅰ)判断f(x)的单调性,并加以证明;(Ⅱ)求证对任意非零实数x,都有f(x)x>0.

问题描述:

设f(x)=

2x−1
2x+1

(Ⅰ)判断f(x)的单调性,并加以证明;
(Ⅱ)求证对任意非零实数x,都有
f(x)
x
>0.

(Ⅰ)由于 f(x)=2x−12x+1=1-22x+1,设x1<x2,∵f(x1)-f(x2)=(1-22x1+1)-(1-22x2+1)=2(2x1−2x2)(2x1+1)(2x2+1)<0,即 f(x1)<f(x2),故函数f(x)在R上是增函数.(Ⅱ)由于当x>0时,2x-1>0,f...
答案解析:(Ⅰ)由于 f(x)=1-

2
2x+1
,设x1<x2,计算 f(x1)-f(x2)=
2(2x1−2x2)
(2x1+1)(2x2+1)
<0,即 f(x1)<f(x2),可得函数f(x)在R上是增函数.
(Ⅱ)由于当x>0时,2x-1>0,f(x)=
2x−1
2x+1
>0;当x<0时,2x-1<0,f(x)=
2x−1
2x+1
<0,命题得证.
考试点:函数单调性的性质;函数单调性的判断与证明.
知识点:本题主要考查函数的单调性的判断和证明,函数的单调性的性质应用,属于中档题.