已知：函数f（x）=x2+2x+ax，x∈[1，+∞），（1）当a=-1时，判断并证明函数的单调性并求f（x）的最小值；（2）若对任意x∈[1，+∞），f（x）＞0都成立，试求实数a的取值范围．
问题描述：
已知：函数f（x）=
，x∈[1，+∞），
x2+2x+a x
（1）当a=-1时，判断并证明函数的单调性并求f（x）的最小值；
（2）若对任意x∈[1，+∞），f（x）＞0都成立，试求实数a的取值范围．
答
（1）当a=-1时f（x）=x2+2x−1x=x-1x+2f′（x）=1+1x2＞0，x∈[1，+∞），所以f（x）在x∈[1，+∞）上是增函数，所以x=1时f（x）取最小值，最小值为2 （2）若对任意x∈[1，+∞）f（x）＞0恒...
答案解析：（1）当a=-1时f（x）=
=x-
x2+2x−1 x
+2，利用导数工具证明即可1 x
（2）对任意x∈[1，+∞），f（x）＞0都成立，转化为x2+2x+a＞0对任意x∈[1，+∞）恒成立即可．
考试点：函数最值的应用；函数单调性的判断与证明．
知识点：本题考查函数单调性的判断与证明，不等式恒成立问题．考查转化、计算能力．