已知定义在(0,正无穷大)上的函数f(x)对任意x,y属于(0,正无穷大),恒有f(xy)=f(x)+f(y),且当00.1、证明 当x大于1时,f(x)小于02、判断函数f(x)的单调性并加以证明

问题描述:

已知定义在(0,正无穷大)上的函数f(x)对任意x,y属于(0,正无穷大),恒有f(xy)=f(x)+f(y),且当00.
1、证明 当x大于1时,f(x)小于0
2、判断函数f(x)的单调性并加以证明

1、显然f(1)=0
对任意x>1有0 所以f(1/x)>0
又f(1)=f(x)+f(1/x)=0
因此f(x)=-f(1/x)2、令00
又由f(x)性质可知f(x1)=f(x1/x2)+f(x2)
即f(x1)-f(x2)=f(x1/x2)>0
由单调性定义知f(x)单调递减