设f(x)=2x−12x+1. (Ⅰ)判断f(x)的单调性,并加以证明; (Ⅱ)求证对任意非零实数x,都有f(x)x>0.

问题描述:

设f(x)=

2x−1
2x+1

(Ⅰ)判断f(x)的单调性,并加以证明;
(Ⅱ)求证对任意非零实数x,都有
f(x)
x
>0.

(Ⅰ)由于 f(x)=2x−12x+1=1-22x+1,设x1<x2,∵f(x1)-f(x2)=(1-22x1+1)-(1-22x2+1)=2(2x1−2x2)(2x1+1)(2x2+1)<0,即 f(x1)<f(x2),故函数f(x)在R上是增函数.(Ⅱ)由于当x>0时,2x-1>0,f...