已知函数f(x)=[x^1/3-x^(-1/3)],g(x)[x^1/3+x(-1/3)] 1)求证f(x)是奇函数并求f(x)的单调区间 2）分别计算f(4)-5f(2)g(2)和f(9)-5f(3)g(3)的值,由此概括出涉及函数f(x)和g(x)的对所有不等于零的实数x都成立的一个等式,并加以证明.

F(DFG5T40

1）证明f(x)是奇函数：因为f(-x)=[-(x^)1/3-(-x)^(-1/3)]=-[x^1/3-x^(-1/3)]=-f(x),所以，f(x)为奇函数。
2）因为：f(x)*g(x)[=[x^1/3-x^(-1/3)]*[x^1/3+x(-1/3)]=x^2/3-x^(-2/3)=x^2/3-x^(-2/3)
所以：f(4)-5f(2)g(2)=[4^1/3-4^(-1/3)]-5*[2^2/3-2^(-2/3)]=[4^1/3-4^(-1/3)]-5*[4^1/3-4^(-1/3)]=)=-4*[4^1/3-4^(-1/3)]=-4f(4)
同理可得：f(9)-5f(3)g(3)=-4f(9).
由此可得：对所有不等于零的实数x都成立的一个等式为：f(x^2)-af(x)g(x)=(1-a)f(x^2),a为常数。
证明：当a=0是，等式显然成立。
当a不等于0时，f(x^2)-af(x)g(x)=[(x^2)^1/3-(x^2)^(-1/3)]-a[x^2/3-x^(-2/3)]=(1-a)[x^2/3-x^(-2/3)]=(1-a)f(x^2).

(1)f(-x)=-f(x)所以为奇函数
f'(x)=(1/3)x^(-2/3)+(1/3)x^(-4/3)
令f'(x)=0
x^(-2/3)+x^(-4/3)=0
x^(-2/3)(1+x^2)=0
则函数为增函数
(2)-5f(2)g(2)=-5*(18-1)/(3^√2)=-85/3^√2
f(9)=(81-1)/(3^√9)=80/(3^√9)
-5f(3)g(3)=[-5(27-1)/(3^√3)](3^√3-1)
f(9)-5f(3)g(3)=80/3^√9-130/(27-3^√3)

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