如图所示,已知P(4,0)是圆x2+y2=36内的一点,A、B是圆上两动点,且满足∠APB=90°,求矩形APBQ的顶点Q的轨迹方程.
问题描述:
如图所示,已知P(4,0)是圆x2+y2=36内的一点,A、B是圆上两动点,且满足∠APB=90°,求矩形APBQ的顶点Q的轨迹方程.
答
设AB的中点为R,则R也是PQ的中点,设R的坐标为(x1,y1),则在Rt△ABP中,|AR|=|PR|.又因为R是弦AB的中点,依垂径定理:在Rt△OAR中,|AR|2=|AO|2-|OR|2=36-(x12 +y12).又|AR|=|PR|=(x1−4)2+y12,所以有...
答案解析:设AB的中点为R,设R的坐标为(x1,y1),则在Rt△ABP中,|AR|=|PR|,在Rt△OAR中,|AR|2=|AO|2-|OR|2 =36-(x12 +y12),再由|AR|=|PR|=
,由此得到点R的轨迹方程 x12 +y12-4x1-10=0①,设Q(x,y),因为R是PQ的中点,可得x1=
(x1−4)2+y12
,y1=x+4 2
,代入①化简即得所求.y+0 2
考试点:轨迹方程.
知识点:本题主要考查利用“相关点代入法”求曲线的轨迹方程,利用平面几何的基本知识和两点间的距离公式建立线段AB中点R的轨迹方程.欲求Q的轨迹方程,应先求R的轨迹方程,若学生思考不深刻,发现不了问题的实质,很难解决此题,属于难题.