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如图所示，已知P（4，0）是圆x2+y2=36内的一点，A、B是圆上两动点，且满足∠APB=90°，求矩形APBQ的顶点Q的轨迹方程．

分类: 作业答案 • 2022-08-15 11:24:59
问题描述：

如图所示，已知P（4，0）是圆x2+y2=36内的一点，A、B是圆上两动点，且满足∠APB=90°，求矩形APBQ的顶点Q的轨迹方程．

答

设AB的中点为R，则R也是PQ的中点，设R的坐标为（x1，y1），则在Rt△ABP中，|AR|=|PR|．
又因为R是弦AB的中点，依垂径定理：在Rt△OAR中，|AR|2=|AO|2-|OR|2=36-（x12 +y12）．
又|AR|=|PR|=

 (x1−4)2+y12
，所以有（x1-4）2+y12=36-（x12 +y12），即 x12 +y12-4x1-10=0．
因此点R在一个圆上，而当R在此圆上运动时，Q点即在所求的轨迹上运动．
设Q（x，y），因为R是PQ的中点，所以x1=
x+4
2
，y1＝
y+0
2
，
代入方程 x12 +y12-4x1-10=0，得(
x+4
2
)2+(
y
2
)2−4•
x+4
2
-10=0，
整理得：x2+y2=56，这就是所求的Q点的轨迹方程．
答案解析：设AB的中点为R，设R的坐标为（x1，y1），则在Rt△ABP中，|AR|=|PR|，在Rt△OAR中，|AR|2=|AO|2-|OR|2 =36-（x12 +y12），再由|AR|=|PR|=
 (x1−4)2+y12
，由此得到点R的轨迹方程 x12 +y12-4x1-10=0①，设Q（x，y），因为R是PQ的中点，可得x1=
x+4
2
，y1＝
y+0
2
，代入①化简即得所求．
考试点：轨迹方程．
知识点：本题主要考查利用“相关点代入法”求曲线的轨迹方程，利用平面几何的基本知识和两点间的距离公式建立线段AB中点R的轨迹方程．欲求Q的轨迹方程，应先求R的轨迹方程，若学生思考不深刻，发现不了问题的实质，很难解决此题，属于难题．

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