如图所示,已知P(4,0)是圆x2+y2=36内的一点,A、B是圆上两动点,且满足∠APB=90°,求矩形APBQ的顶点Q的轨迹方程.
问题描述:
如图所示,已知P(4,0)是圆x2+y2=36内的一点,A、B是圆上两动点,且满足∠APB=90°,求矩形APBQ的顶点Q的轨迹方程.
答
设AB的中点为R,则R也是PQ的中点,设R的坐标为(x1,y1),则在Rt△ABP中,|AR|=|PR|.
又因为R是弦AB的中点,依垂径定理:在Rt△OAR中,|AR|2=|AO|2-|OR|2=36-(x12 +y12).
又|AR|=|PR|=
,所以有(x1-4)2+y12=36-(x12 +y12),即 x12 +y12-4x1-10=0.
(x1−4)2+y12
因此点R在一个圆上,而当R在此圆上运动时,Q点即在所求的轨迹上运动.
设Q(x,y),因为R是PQ的中点,所以x1=
,y1=x+4 2
,y+0 2
代入方程 x12 +y12-4x1-10=0,得(
)2+(x+4 2
)2−4•y 2
-10=0,x+4 2
整理得:x2+y2=56,这就是所求的Q点的轨迹方程.