如图,测量河对岸A、B两点间的距离,沿河岸选取相距40米的C、D两点,测得:∠ACB=60°,∠BCD=45°,∠ADB=60°,∠ADC=30°,则AB的距离是______.

问题描述:

如图,测量河对岸A、B两点间的距离,沿河岸选取相距40米的C、D两点,测得:∠ACB=60°,∠BCD=45°,∠ADB=60°,∠ADC=30°,则AB的距离是______.

∵∠ADB=60°,∠ADC=30°,
∴∠BDC=∠ADB+∠ADC=90°,又∠BCD=45°,
∴△BCD为等腰直角三角形,又CD=40,
∴BD=CD=40,
在△ACD中,∠ACD=∠ACB+∠BCD=105°,∠ADC=30°,
∴∠CAD=45°,
又sin105°=sin(45°+60°)=sin45°cos60°+cos45°sin60°=

2
+
6
4

由正弦定理
CD
sin∠CAD
=
AD
sin∠ACD
得:
40
sin45°
=
AD
sin105°

解得:AD=20(
3
+1),
在△ABD中,利用余弦定理得:AB2=AD2+BD2-2AD•BDcos60°=400(
3
+1)2+402-800(
3
+1)=2400,
解得:AB=20
6

故答案为:20
6

答案解析:由∠BDC=∠ADB+∠ADC及∠ADB与∠ADC的度数,求出∠BDC为直角,又∠BCD=45°,得到三角形BCD为等腰直角三角形,可得出BD=CD=40,在三角形ACD中,利用三角形内角和定理求出∠ACD与∠CAD的度数,再由CD的长,利用正弦定理求出AD的长,在三角形ABD中,由AD,BD及cos∠ADB的值,利用余弦定理即可求出AB的长.
考试点:余弦定理;正弦定理.
知识点:此题考查了正弦、余弦定理,等腰直角三角形的判定与性质,两角和与差的正弦函数公式,以及特殊角的三角函数值,熟练掌握定理是解本题的关键.