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过椭圆x2a2+y2b2＝1（a＞b＞0）的左顶点A作斜率为1的直线l与椭圆的另一个交点为M，与y轴的交点为B，若AM=MB，则该椭圆的离心率为______．

分类: 作业答案 • 2022-06-25 09:14:35
问题描述：

过椭圆

x2
a2
+
y2
b2
＝1（a＞b＞0）的左顶点A作斜率为1的直线l与椭圆的另一个交点为M，与y轴的交点为B，若AM=MB，则该椭圆的离心率为______．

答

根据题意：左顶点A（-a，0），直线l的方程为：y=x+a
∴B（0．a），
又∵AM=MB
∴M（−

a
2
，
a
2
）
又∵M在椭圆上
∴
(−
a
2
)2
a2
+
(
a
2
)2
b2
＝1
整理得：a2=3b2=3（a2-c2）
∴2a2=3c2
∴e＝
 6
3

故答案为：
 6
3
．
答案解析：易知左顶点A的坐标为（-a，0），从而设直线l的方程为：y=x+a，与y轴相交得到B（0．a），再由AM=MB知M为线段AB的中点得M（−
a
2
，
a
2
），最后由M在椭圆上求得a，c关系得到离心率．
考试点：椭圆的简单性质．

知识点：本题主要考查椭圆的顶点，离心率以及a，b，c间的转化关系，同时还考查线与线的关系，点与椭圆的位置关系．

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