已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a＞b＞0)的左焦点为F，C与过原点的直线相交于A，B两点，连接AF、BF，若|AB|=10，|AF|=6，cos∠ABF=4/5，则C的离心率e=_．

分类: 作业答案 • 2023-01-22 01:22:06

问题描述：

已知椭圆C：

=1(a＞b＞0)的左焦点为F，C与过原点的直线相交于A，B两点，连接AF、BF，若|AB|=10，|AF|=6，cos∠ABF=

，则C的离心率e=___．

答

设椭圆的右焦点为F'，连接AF'、BF'
∵AB与FF'互相平分，∴四边形AFBF'为平行四边形，可得|AF|=|BF'|=6
∵△ABF中，|AB|=10，|AF|=6，cos∠ABF=

，
∴由余弦定理|AF|²=|AB|²+|BF|²-2|AB|×|BF|cos∠ABF，
可得6²=10²+|BF|²-2×10×|BF|×

，解之得|BF|=8
由此可得，2a=|BF|+|BF'|=14，得a=7
∵△ABF中，|AF|²+|BF|²=100=|AB|²
∴∠AFB=90°，可得|OF|=

|AB|=5，即c=5
因此，椭圆C的离心率e=

故答案为：