您的位置: 首页 > 作业答案 > 数学 > 已知椭圆x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）右焦点为F，其右准线与x轴的交点为A，在椭圆上存在点P满足线段AP的垂直平分线过点F，则椭圆的离心率的取值范围为_．

已知椭圆x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）右焦点为F，其右准线与x轴的交点为A，在椭圆上存在点P满足线段AP的垂直平分线过点F，则椭圆的离心率的取值范围为_．

分类: 作业答案 • 2023-01-21 22:00:06

问题描述：

已知椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）右焦点为F，其右准线与x轴的交点为A，在椭圆上存在点P满足线段AP的垂直平分线过点F，则椭圆的离心率的取值范围为______．

答

因为在椭圆上存在点P满足线段AP的垂直平分线过点F，
所以F点到P点与A点的距离相等；
因为|FA|=

a2

c

−c=

b2

c

，|PF|∈[a-c，a+c]，
所以

b2

c

∈[a-c，a+c]，
可得ac-c²≤b²≤ac+c²，
即ac-c²≤a²-c²≤ac+c²，
解得

c

a

≤1

c

a

≤−1或

c

a

≥

1

2

，
即

1

2

≤e＜1．
所以椭圆的离心率的取值范围为[

1

2

，1)．
故答案为：[

1

2

，1)．